• Wer die Antwort weiß (entweder beweisen kann oder vom Fragesteller bestätigt bekommt), darf die nächste Aufgabe stellen
  
• Nach Ermessen des Fragestellers können nach und nach Hinweise zur Lösung gegeben werden
  
• Ist die Aufgabe zu schwierig und/oder meldet sich der Fragesteller lange nicht mehr, wird zwanglos zum nächsten übergegangen.

• [tex]\white \lim\limits_{x=0} f(x) = -\infty[/tex]
  
• [tex]\white \lim\limits_{x=a} f(x) = \infty[/tex], dabei ist [tex]\white a\approx 3[/tex] eine numerische Konstante, die später möglicherweise genauer angegeben wird
  
• [tex]\white \lim\limits_{x=0\\x>0} \frac{\partial f(x)}{\partial x} = \infty[/tex]
  
• [tex]\white \lim\limits_{x=a\\x<a} \frac{\partial f(x)}{\partial x} = \infty[/tex].
  

Fury schrieb:Ungefähr = 3? Doch wohl nicht etwa = 3,141592654...

• Das Definitionsgebiet ist größer als dargestellt
  
• (möglicherweise ) Verwendete Funktionen: Tangens, Quadratwurzel, Exponentialfunktion; sowie deren Umkehrfunktionen
  
• [tex]\white a = \tan\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)[/tex]
  
• Die gesuchte Funktion ist eine simple Hintereinanderausführung von 5 Funktionen aus der obigen Liste, wobei Wiederholungen nicht ausgeschlossen sind. Insbesondere treten also keine weiteren Operanden ([tex]\white +,-,\cdot,/[/tex]) auf.

• f ist symmetrisch
  
• [tex]\white \bold f(1) = 0[/tex]
  
• [tex]\white \bold f(x) = ln(x), 0 < x < tan(\sqrt{\frac{\pi}{2}})[/tex]
  
• [tex]\white \bold f(x) = \exp(x), x \geq tan(\sqrt{\frac{\pi}{2}})[/tex]
  

• Die recht eigenwillige Wahl von [tex]\white a[/tex] könnte einen ersten Hinweis auf die Struktur der Funktion liefern (ich bin ja nicht soo fies ). Wir formen also um: [tex]\white a=\tan\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right) \Rightarrow \arctan^2(a)=\frac{\pi}{2}[/tex] und nehmen damit einfach mal an, dass [tex]\white f(x)=g\bigl(\arctan^2(x)\bigr)[/tex] mit einer einfacheren Funktion g ist.
  
• Als nächstes weiß manâ„¢, dass [tex]\white \tan\left(\frac{\pi}{2}\right)[/tex] nicht existiert (Schlimme Dinge, [tex]\white \pm\infty[/tex], Grenzübergänge usw.), wir probieren also erstmal frech [tex]\white f(x)=g\left(\tan\bigl(\arctan^2(x)\bigr)\right)[/tex], dabei habe ich g umbezeichnet, so dass sie weiterhin den noch fehlenden Rest bezeichnet.
  
• Schauen wir nun einmal, was wir bisher haben. Dazu lassen wir g weg (sie sei also die identische Abbildung) und sehen uns die Grenzwerte an. Der in [tex]\white a[/tex] sieht schon mal gut aus, nur wird bisher noch [tex]\white f(0)=0[/tex]. Eine Funktion, die aus der 0 ein [tex]\white -\infty[/tex] macht und im Unendlichen selbst beliebig groß wird ist der Logarithmus. Schreiben wir also versuchsweise [tex]\white f(x)=\log\left(\tan\bigl(\arctan^2(x)\bigr)\right)[/tex].
  
• Plotten wir nun diese Funktion, so sieht sie der gesuchten doch schon verdächtig ähnlich. Mit ein bisschen Knobelei, den verbliebenen (wir nehmen wieder an, dass ich nett war und jede doch nur einmal verwendet habe) und unter Beachtung der Grenzwertüberlegungen findet man schließlich heraus, dass die Funktion
  
  [tex]\yellow f(x)=\log\left(\sqrt{\tan\bigl(\arctan^2(x)\bigr)}\right)[/tex]
  die gesuchten Eigenschaften erfüllt und mit dem gegebenen Plot deckungsgleich ist.
  

1. 1. Binde ein Seil stramm um den Aequator. Um wieviel musst Du das Seil verlaengern, um es ueberall um einen Meter anheben zu koennen?
      
   2. Nimm das verlaengerte Seil und zieh es an einem Punkt so weit wie moeglich von der Erde weg (d.h. so dass es groesstenteils wieder stramm an der Erde anliegt). Wie weit ist "so weit wie moeglich"?
      
2. 1. An welchem Ort (welchen Orten?) auf der Erde kann man eine Meile nach Norden, dann eine Meilen nach Osten, dann eine Meile nach Sueden gehen, und landet wieder am Ausgangspunkt?
      
   2. Geh von irgendeinem Punkt am Aequator immer nach Nordosten. Kommst Du zum Nordpol? Wenn ja, wie weit bist Du gelaufen?

Spoiler

Südpol? (Auch wenn man mMn Wurzel aus 2 Meilen nach Süden gehen müsste)

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Nein. (Bei angenommener Kugelform und wirklich geradem Gehen^^)

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(23.04.2009, 11:56)Edvard schrieb: 2a: Südpol? (Auch wenn man mMn Wurzel aus 2 Meilen nach Süden gehen müsste)

Südpol stimmt. Wurzel aus zwei stimmt nicht. Du entfernst dich ein 1km vom Südpol. Dann bewegst Du Dich, aber nicht vom Südpol weg.

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(23.04.2009, 11:56)Edvard schrieb: 2b: Nein. (Bei angenommener Kugelform und wirklich geradem Gehen^^)

Spirale?

2a und 2b

(23.04.2009, 12:31)Rabenaas schrieb: Südpol stimmt. Wurzel aus zwei stimmt nicht. Du entfernst dich ein 1km vom Südpol. Dann bewegst Du Dich, aber nicht vom Südpol weg.

Ah ja, macht Sinn...

(23.04.2009, 12:31)Rabenaas schrieb: Spirale?

Wenn ich mich geradeaus auf einer Kugel bewege, dann sollte ich keine Spirale gehen.
Vorrausgesetzt, die Kugel dreht sich nicht, also die Corioliskraft wirkt nicht...

(23.04.2009, 11:56)Edvard schrieb: Bei [...] wirklich geradem Gehen