27.04.2009, 21:28
2b, Loesung:
Wie mehrmals angedeutet, ist die Kenntnis der genauen Bahn nicht notwendig. Der Schluessel ist schlicht die Definition der Richtungsangabe "Nordosten": Man macht einen Schritt nach Nordosten, wenn man damit gleiche Entfernungen in Richtung Norden und Osten zuruecklegt. Strenger formuliert betrachten wir ein beliebiges Bahnsegment mit Laenge [tex]\delta[/tex]. Lassen wir [tex]\delta[/tex] gegen Null gehen, wird alles sehr einfach: Die Erdoberflaeche wird euklidisch, damit sind die Basisvektoren Norden und Osten orthogonal und konstant, und damit sind die Komponenten entlang der Basisvektoren jeweils [tex]\frac{\delta}{\sqrt{2}}[/tex]. Wir koennen also ohne Schwierigkeiten die Bahnlaenge als eine Funktion der zurueckgelegten Entfernung nach Norden ausdruecken, und damit per Integration die gesamte Bahnlaenge, da die Bahn zwangslaeufig den Nordpol erreicht, wenn ein viertel des Erdumfangs in Richtung Norden zurueckgelegt wurde. Die Antwort ist somit, wie schon von Pergor angegeben, [tex]L = \frac{U}{2 \sqrt{2}}[/tex]