Mathequiz

[Hupf]

Jetzt habe ich den Faden hier schon wieder komplett vergessen Da meine Funktionentheorievorlesung schon wieder ein paar Jahre zurückliegt, mache ich mich aber noch nicht gleich an die Lösung der neuen Aufgabe. Zu meinem schicken Plot da oben also ein möglicher Lösungsweg:

• Die recht eigenwillige Wahl von [tex]\white a[/tex] könnte einen ersten Hinweis auf die Struktur der Funktion liefern (ich bin ja nicht soo fies ). Wir formen also um: [tex]\white a=\tan\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right) \Rightarrow \arctan^2(a)=\frac{\pi}{2}[/tex] und nehmen damit einfach mal an, dass [tex]\white f(x)=g\bigl(\arctan^2(x)\bigr)[/tex] mit einer einfacheren Funktion g ist.
  
• Als nächstes weiß manâ„¢, dass [tex]\white \tan\left(\frac{\pi}{2}\right)[/tex] nicht existiert (Schlimme Dinge, [tex]\white \pm\infty[/tex], Grenzübergänge usw.), wir probieren also erstmal frech [tex]\white f(x)=g\left(\tan\bigl(\arctan^2(x)\bigr)\right)[/tex], dabei habe ich g umbezeichnet, so dass sie weiterhin den noch fehlenden Rest bezeichnet.
  
• Schauen wir nun einmal, was wir bisher haben. Dazu lassen wir g weg (sie sei also die identische Abbildung) und sehen uns die Grenzwerte an. Der in [tex]\white a[/tex] sieht schon mal gut aus, nur wird bisher noch [tex]\white f(0)=0[/tex]. Eine Funktion, die aus der 0 ein [tex]\white -\infty[/tex] macht und im Unendlichen selbst beliebig groß wird ist der Logarithmus. Schreiben wir also versuchsweise [tex]\white f(x)=\log\left(\tan\bigl(\arctan^2(x)\bigr)\right)[/tex].
  
• Plotten wir nun diese Funktion, so sieht sie der gesuchten doch schon verdächtig ähnlich. Mit ein bisschen Knobelei, den verbliebenen (wir nehmen wieder an, dass ich nett war und jede doch nur einmal verwendet habe) und unter Beachtung der Grenzwertüberlegungen findet man schließlich heraus, dass die Funktion
  
  [tex]\yellow f(x)=\log\left(\sqrt{\tan\bigl(\arctan^2(x)\bigr)}\right)[/tex]
  die gesuchten Eigenschaften erfüllt und mit dem gegebenen Plot deckungsgleich ist.