Mathequiz

[Pergor]

Wer möchte kann sich daran gerne austoben.

Also wer sich daran versucht, benötigt schon gewisse Langeweile und viel Freizeit. Das ist kein Problem nur für einen kaputten Abend. Die Aufgabe ist ja im Grunde das Prinzip der Loxodrome. (Wikipedia hilft). Oder ist das Stichwort hier schon gefallen? Bei all den Spoilern übersieht man gerne mal was.

Jedenfalls hast du Recht, Rabenaas, im Grunde ist das eine unendliche Reihe, die auch streng mathematisch betrachtet definitiv konvergiert (im praktischen Fall sähe das wohl anders aus).

So wie ich das verstanden habe, kann man das so ausrechnen:

Man betrachtet die beiden involvierten Punkte (in diesem Fall wählt man Äquatorpunkt A und Nordpolpunkt N) mit den Koordinaten:

[tex]\white \huge A = ( \lambda_A \, , \, \phi_A ) [/tex]
[tex]\white \huge N = ( \lambda_N \, , \, \phi_N ) [/tex]

Wenn man den Winkel [tex]\white \huge \eta [/tex] der Loxodrome kennt, kann man die Länge L der Strecke, die man auf der Loxodrome zurücklegt, berechnen:

[tex]\white \huge L = \frac{\phi_N - \phi_A}{\eta}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,(1) [/tex]

Wie man nun explizit - um beim Beispiel zu bleiben - das Ganze ausrechnet, wenn man zwischen Äquator und Nordpol diese "konvergente unendliche Strecke" berechnet - keine Ahnung! Würde man das in Form einer unendlichen Reihe darstellen wollen, müsste man wohl schauen, wie sich pro "Umrundung" die Streckenlänge verhält. Dann könnte man über diese unendlich vielen Umrundungen aufsummieren. Bei Gleichung (1) weiß ich jetzt auch nicht ganz genau, ob das der endgültige (Grenz-)Wert ist oder nicht.

Diese Bahngleichung habe ich noch gefunden:

[tex] \huge \white \lambda = \ln \left(\tan \left(45* + \frac{\phi}{2} \right) \right) \cdot \frac{180*}{\pi} [/tex]

Sieht ziemlich abenteuerlich aus. Die beschreibt halt die Lage der Loxodrome, wobei jeder geographischen Länge Lambda halt eine geographische Breite Phi zugeordnet wird. Anmerkung: Bei mir ging das Gradzeichen in der Latexumgebung irgendwie nicht. Das Sternchen steht für Grad (degree).