19.12.2009, 23:35
Was gibt es doch wunderschöne Integrale. Ich habe hier so einen tollen magnetischen Wirbel:
[tex]\Large \white H(x) = \frac{1}{x_1^2 + x_2^2} \begin{pmatrix} -x_2 \\ x_1 \\ 0 \end{pmatrix} \, \, , \, \, x = (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R^3} \, \setminus \, \{x_1=x_2 = 0\} [/tex]
Davon hätte ich gerne ein Potential, also ein [tex]\Large \white\varphi(x) [/tex] so, dass gilt:
[tex]\Large \white \nabla \varphi(x) = H(x) [/tex]
Also: [tex]\Large \white \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d}x_1} = \frac{-x_2}{x_1^2+x_2^2} [/tex] und [tex]\Large \white \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d}x_2} = \frac{x_1}{x_1^2+x_2^2} [/tex]
Im Wesentlichen hocke ich jetzt also vor diesem Integral: [tex]\Large \white -x_2 \int \frac{1}{x_1^2+x_2^2} \, \, \mathrm{d}x_1 [/tex]
Oder, der Einfachheit halber, generell vor einem Integral der Form:
[tex]\huge \white \int \frac{1}{x^2 +a} \, \, \mathrm{d}x [/tex]
Von der Form her erinnert das stark an die Ableitung des arctan und Mathematica spuckt auch das hier aus:
[tex]\huge \white \int \frac{1}{x^2 +a} \, \, \mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{a}} \tan^{-1} \left ( \frac{x}{\sqrt{a}} \right ) [/tex]
Aber himmelherrgottnochmal, wie kommt man da denn hin? Ich probiere nun schon Ewigkeiten daran rum. Kann man das geeignet umschreiben? Oder gibt es eine schöne Substitution? Da das Ganze noch Zeit hat bis zum neuen Jahr, dachte ich, ich stelle es hier mal rein, hier gibt's ja einige, die ein wenig mit Integralen umgehen können (sollten). Also, jemand eine zündende Idee?
[tex]\Large \white H(x) = \frac{1}{x_1^2 + x_2^2} \begin{pmatrix} -x_2 \\ x_1 \\ 0 \end{pmatrix} \, \, , \, \, x = (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R^3} \, \setminus \, \{x_1=x_2 = 0\} [/tex]
Davon hätte ich gerne ein Potential, also ein [tex]\Large \white\varphi(x) [/tex] so, dass gilt:
[tex]\Large \white \nabla \varphi(x) = H(x) [/tex]
Also: [tex]\Large \white \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d}x_1} = \frac{-x_2}{x_1^2+x_2^2} [/tex] und [tex]\Large \white \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d}x_2} = \frac{x_1}{x_1^2+x_2^2} [/tex]
Im Wesentlichen hocke ich jetzt also vor diesem Integral: [tex]\Large \white -x_2 \int \frac{1}{x_1^2+x_2^2} \, \, \mathrm{d}x_1 [/tex]
Oder, der Einfachheit halber, generell vor einem Integral der Form:
[tex]\huge \white \int \frac{1}{x^2 +a} \, \, \mathrm{d}x [/tex]
Von der Form her erinnert das stark an die Ableitung des arctan und Mathematica spuckt auch das hier aus:
[tex]\huge \white \int \frac{1}{x^2 +a} \, \, \mathrm{d}x = \frac{1}{\sqrt{a}} \tan^{-1} \left ( \frac{x}{\sqrt{a}} \right ) [/tex]
Aber himmelherrgottnochmal, wie kommt man da denn hin? Ich probiere nun schon Ewigkeiten daran rum. Kann man das geeignet umschreiben? Oder gibt es eine schöne Substitution? Da das Ganze noch Zeit hat bis zum neuen Jahr, dachte ich, ich stelle es hier mal rein, hier gibt's ja einige, die ein wenig mit Integralen umgehen können (sollten). Also, jemand eine zündende Idee?
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