Mathequiz

[Pergor]

Vorsicht, es gibt da zwei Arten von Konvergenz. Einmal die Reihe der zurückgelegten Strecken (so ähnlich wie bei Achilles). Das hatte ich mit konvergenter Reihe gemeint. Dann gibt es noch die topologische Konvergenz der Spirale gegen einen Punkt (Im Sinn einer Folge von Abständen bzw. Umgebungen). Das meinst Du damit, vermute ich.

Das mögen zwei unterschiedliche Betrachtungsweisen sein, aber den wirklichen Unterschied sehe ich da jetzt irgendwie nicht. Zumindest nicht im Resultat. Der Abstand zum Nordpol strebt gegen Null, wenn man die Anzahl der Umrundungen gegen Unendlich laufen lässt. Die zurückgelegte Strecke strebt gegen einen festen Wert. Genauer gesagt gegen:

[tex]\white \huge L = \frac{\pi R }{\sqrt{2}} \approx 14135 \text{km}[/tex]

Zumindest wenn ich dem Glauben schenken kann (eine Rechnung stand nicht dabei). Bei der Reihe der zurückgelegen Strecken wird doch auch über ebenjene aufsummiert und damit als Grenzwert die Gesamtstrecke betrachtet. Die Gesamtlänge der Spirale ist doch nichts anderes als eben diese unendliche Reihe von Teilstrecken aufsummiert.

Was die Bijektivität angeht: Ich würde ja zu einem halboffenen tendieren. Kann man das Ganze als eine Art "Abstandsfunktion" auffassen? Dann machen wir aus der Erdoberfläche einfach mal einen metrischen Raum. So dass jedem Punkt auf der Bahn (siehe Bahngleichung) ein Abstand zum Punkt N (Nordol) zugeordnet wird? Abgeschlossen kann's dann ja eigentlich nicht sein, es muss ja jeder Wert der Zielmenge dafür angenommen werden. Das wäre hier ja nicht der Fall. d(x,N)=0 würde ja nicht erreicht werden.