HELP-Thread für Schule und Studium

[turrican]

Ok,

Allgemeine Beschreibung einer Ebene in Parameterdarstellung:
(1) [tex]\white x= a + r*b + s*c[/tex]

a ist der Aufpunkt, b und c sind Richtungsvektoren. Hier ist der Aufvektor gleich der Nullvektor.
(2) [tex]\white \lambda w + \lambda' w'[/tex]

Allgemeine Beschreibung in Koordinatendarstellung:
[tex]\white ax + by +cz = d[/tex]

Hier ist a=1, b=-1,c=-1 und d=0
(3) [tex] \white x_1 - x_2 - x_3 = 0 [/tex]

jetzt löse (3) nach x_1 auf ---> [tex]\white x_1 = x_2 + x_3[/tex]
und setzte x_2 = r und x_3 = s

Danach setze in Gleichung (1) ein (jetzt ohne latex weil \bmatrix nicht geht):

x_1 = r + s
x_2 = r
x_3 = s

also hast du eine Ebene die durch 2 Richtungsvektoren b und c aufgespannt wird:

[tex]\white x= r*b + s*c[/tex] , mit

b= (1 1 0) (transponiert) und c= (1 0 1) (transponiert)


Diese beiden Vektoren b und c entsprechen den beiden Vektoren w und w(strich) aus Gleichung (2) mit r=lambda und s=lambda(strich)

fertig

[Pergor]

Hui, noch ein Mathematiker hier.

Aber man muss ja die Gleichheit der beiden Mengen zeigen. Das ist, soweit ich das überblicken kann, nicht geschehen, oder?

Die beiden Vektoren (1,1,0) und (1,0,1) hatte ich hier auch schon auf einem Schmierzettel stehen. Aber die helfen einem ja nicht sonderlich viel. Oder aber ich habe es nicht begriffen. Wie gesagt, die Gleichheit der Mengen muss gezeigt werden. Das durchblicke ich nicht.

[JackyD]

@turrican: Jetzt wo Du's sagst / schreibst, ist es mir auch klar. Als ich gerade die Aufgabe 0 durchgelesen habe und dann nochmal, erst so richtig, das "Ebenengleichung" gesehen habe, ist mir auch ein Licht aufgegangen. Aber Deine Ausführungen hätte ich nicht mehr so hinbekommen, Respect! Jetzt bin ich wirklich weg. Gute Nacht!

[JackyD]

@Pergor: Für [tex]\white \vec{w} = (1,1,0)[/tex] und [tex]\white \vec{w'} = (1,0,1)[/tex] und für jede Kombination von [tex]\white \lambda[/tex] und [tex]\white \lambda'[/tex] ist [tex]\white \lambda \cdot \vec{w} + \lambda' \cdot \vec{w}'[/tex] ein Vektor [tex]\white (x_1,x_2,x_3)[/tex] für den [tex]\white x_1 - x_2 - x_3 = 0[/tex] gilt. Somit ist die Gleichheit doch gegeben. Du erzeugst genau die definierte Menge.

[turrican]

Hui, noch ein Mathematiker hier.

Eigentlich nur ein Ingenieure

Aber man muss ja die Gleichheit der beiden Mengen zeigen. Das ist, soweit ich das überblicken kann, nicht geschehen, oder?

Doch! In der Aufgebenstellung wird von dir verlangt, zwei Vektoren w und w(strich) zu finden, die denselben Raum(Ebene) aufspannen wie E. Indem du E in Parameterdarstellung umformst, kannst du die Richtungsvektoren von E einfach ablesen. Diese setzt du dann einfach w und w(strich) gleich. Da kein Aufpunkt existiert, sind die Ebenen gleich ...

[Fury]

Griechische Buchstaben sind immer \name
Manchmal gibts noch variierte formen zb varphi
Groß/klein per \Lambda \lambda

Also im grunde ganz einfach!

[Boneman]

Ich hoffe, die Mathefreaks sind online.
Da mir LaTeX zu kompliziert ist und man das hier eh relativ schlecht lesen kann, mach ich's mal mit Screenshots. Und zwar habe ich hier einen Lösungsweg zu einem Induktionsbeweis und da kapier ich eine Umformung nicht.

Die Aufgabe:


Die Umformung (im Induktionsschritt, nach Anwendung der Induktionsvoraussetzung), die ich nicht verstehe:


Es geht sowohl um den roten, als auch den blauen Teil, ich versteh einfach nicht, wie der Mensch von der oberen Zeile auf die untere kommt. Kann mir das vielleicht jemand erklären, bitte?

[Pergor]

Also so auf Anhieb könnte ich dir zumindest des roten Teil erklären. Ich hänge ein Attachment dran. Da ist eigentlich nicht viel passiert. Er hat nur zwei der Summanden zusammengefasst (habe ich markiert) und dann das ( 2^(n+1)) ausgeklammert. Da steckt eigentlich nicht viel hinter, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe.

Beim blauen Teil... also öhm... das sehe ich so auf Anhieb auch nicht so genau. Da werden ja auch nur Vorzeichen geändert. Wenn ich aus einem (n) im Exponenten ein (n+1) mache, ändert das bei (-1) ja dann nur das letztendliche Vorzeichen. Aber so ganz durchgestiegen bin ich da noch nicht...

[araffi]

Hier wird doch einfach faktorweise zusammengefasst: die Faktoren sind jeweils2^(n+1) , (-1) und (n+2), der Rest ist halt Algebra ...
(Zum Auflösen einfach das Produkt in diese Faktoren zerlegen und dann in die Induktionsform (n->n+1) umwandeln ...)

edit: Der blaue teil ändert sich genauso, um auf den Induktionsschluss zu kommen, zieht man einfach die "+1" in den Exponent und muss entsprechend den 2. Faktor ((2n+1)/4) negieren ...

Das zuvor gesagte gilt auch für den letzten Summanden.

Hmm, also eigentlich ist das ganz einfach, aber wenn ich meinen Beitrag hinterher selbst lese, dann klingts doch etwas holprig, ist schwer in Worte zu fassen ... sry

[Boneman]

Okay, ich glaub, ich hab's. Danke.

[Pergor]

Kennt sich hier jemand mit Matrizen und Basen von Untervektorräumen aus? Diesbezüglich hätte ich nämlich mal wieder ein kleines Problemchen. Unser Prof hat uns gebeten, nicht vor dieser Aufgabe zu Kneifen und ich möchte ihn natürlich nur ungern enttäuschen.

Also, gegeben sind diese drei (magischen) Matrizen:

[tex]\huge \white A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} A_3 = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} [/tex]

Und unsere Aufgabe ist nun:

Zeigen Sie, dass die Menge aller magischen Matrizen ein Untervektorraum von [tex]\white \mathbb R^{3x3}[/tex] ist und [tex]\white A_1 , A_2 , A_3 [/tex] eine Basis des Untervektorraumes bilden.

Was den Unvervektorraum angeht: Ich habe jetzt einfach gezeigt, dass die Nullmatrix eine magische Matrix ist (ist ja nicht verwunderlich), und dass die Summe zweier magischen Matrizen wieder eine magische Matrix ergibt und dass ein vielfaches einer magischen Matrix auch wieder eine magische Matrix ergibt. Das sind ja die drei Kriterien für einen Untervektorraum. Aber bei der letzten Teilaufgabe bin ich ziemlich ratlos. Jemand eine Idee?

[Fury]

Hm Matrizen mochte ich eigentlich nie

Aber wenn ich das richtig verstehe, sollst du dafür nur zeigen, dass du alle magischen Matrizen (die Menge aller magischer Matrizen bildet ja besagten Untervektorraum) durch Linearkombinationen der drei Matrizen hier darstellen kannst.

[Pergor]

Ich gehe noch eine Schritt weiter: Ich verabscheue Matrizen.

Und wie packe ich deinen Ansatz an? Damit das geht, müsste ich ja zunächst einmal zeigen, dass diese drei Matrizen linear unabhängig sind, oder? Wie mache ich denn das?

[Fury]

Indem du zeigst, dass keine der drei Matrizen sich als Linearkombination der anderen darstellen lässt

[Pergor]

Hmm... also mal den Fall A1 und A2 betrachtet:

Soll ich aus den jeweiligen Zeilen der Matrizen einfach Gleichungssysteme aufstellen?

Also z.B. so:

a x_1 + a x_2 + a x_3 = x_2 - x_3

a x_1 + a x_2 + a x_3 = -x_1 + x_3

a x_1 + a x_2 + a x_3 = x_1 - x_2

Und dann zeigen, dass kein Koeffizient (außer der null halt) diese drei Gleichungen erfüllt? Ich tue mich ja immer noch mit dem formalen so schwer...

[Fury]

Ja sowas in der Art

Tut mir leid, aber das ist 4 Semester her da hab ich auch nicht mehr alles präsent.

Ich hoffe das hilft etwas, ich bin schlafen, hab morgen früh Praktikum

[Pergor]

Okay, das sieht ja noch machbar aus. Und was dann?

Diese drei gegebenen Matrizen müssen also ein Erzeugendensystem sein, sehe ich das richtig?

Ab wann ist denn gezeigt, dass ich durch Linearkombination dieser drei Matrizen alle nur denkbaren magischen Matrizen darstellen kann?

Edit: Ok. Die Aufgabe muss ja erst übermorgen abgegeben werden, vielleicht weiß Jacky ja auch noch Rat. Oder jemand anderes. Gute Nacht.

[JackyD]

[...], vielleicht weiß Jacky ja auch noch Rat.

Nö, weiß er nicht, sorry. Lin.Alg. ist leider nicht so mein Ding. Ich könnte Dir vielleicht helfen, wenn ich wüßte, wovon hier eigentlich die Rede ist. Aber ich weiß weder was eine magische Matrix ist noch wodurch sich ein Unterraum definiert oder dessen Eigenschaften. Sorry, da fehlts einfach etwas an der Terminologie.

[Pergor]

Macht nichts, ich habe es jetzt eh hinbekommen. Hoffe ich zumindest.

Aber falls du wissbegierig bist: Eine Matrix ist magisch, wenn die drei Zeilen-, die drei Spalten- und die beiden Diagonalsummen genau den gleichen Wert liefern. Dies trifft beispielsweise auf die drei von mir geposteten Matrizen zu. Steckt also eigentlich gar nicht soviel hinter.

Was den Untervektorraum angeht, bezweifle ich, dass es dich sonderlich interessiert.

[JackyD]

Naja, Hauptsache Du hast es hinbekommen.